Aperçu en hauteur de l’algèbre linéaire La mesure d’une carte – déterminant

Une vue panoramique de l'algèbre linéaire La mesure d'une matrice - le déterminant

Ceci est le deuxième chapitre du livre en cours sur l’algèbre linéaire, “Un aperçu de l’algèbre linéaire”. Voici la table des matières jusqu’à présent :

1. Chapitre 1 : Les bases
2. Chapitre 2 : (Courant) La mesure d’une carte – déterminants

L’algèbre linéaire est l’outil des dimensions multiples. Peu importe ce que vous faites, dès que vous passez à n dimensions, l’algèbre linéaire entre en jeu.

Dans le chapitre précédent, nous avons décrit des cartes linéaires abstraites. Dans celui-ci, nous retroussons nos manches et commençons à manipuler des matrices. Des considérations pratiques telles que la stabilité numérique, les algorithmes efficaces, etc. seront maintenant explorées.

I) Comment quantifier une carte linéaire ?

Nous avons discuté dans le chapitre précédent du concept d’espaces vectoriels (essentiellement des collections de nombres de n dimensions – et plus généralement des collections de champs) et des cartes linéaires qui opèrent sur deux de ces espaces vectoriels, prenant des objets d’un espace à l’autre.

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Comme exemple de ce type de cartes, un espace vectoriel pourrait être la surface de la planète sur laquelle vous êtes assis et l’autre pourrait être la surface de la table sur laquelle vous vous trouvez peut-être. Les cartes littérales du monde sont également des cartes dans ce sens, car elles “cartographient” chaque point de la surface de la Terre vers un point sur un papier ou la surface d’une table, bien qu’elles ne soient pas des cartes linéaires car elles ne préservent pas les surfaces relatives (le Groenland apparaît beaucoup plus grand qu’il ne l’est réellement, par exemple dans certaines projections).

Une fois que nous choisissons une base pour l’espace vectoriel (une collection de n vecteurs “indépendants” dans l’espace ; il pourrait y avoir des choix infinis en général), toutes les cartes linéaires sur cet espace vectoriel se voient attribuer des matrices uniques.

Pour le moment, concentrons notre attention sur les cartes qui prennent des vecteurs d’un espace n-dimensionnel pour les ramener à l’espace n-dimensionnel (nous généraliserons plus tard). Les matrices correspondantes à ces cartes linéaires sont de taille n x n (voir la section III du chapitre 1). Il peut être utile de “quantifier” une telle carte linéaire, d’exprimer son effet sur le vecteur…

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